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WRITTEN BY LOUIS LUANGKESORN <lluang@yahoo.com> FOR THE STATS MODULE
BASED ON WILKINSON'S STATISTICS QUIZ
https://www.stanford.edu/~clint/bench/wilk.txt

Additional tests by a host of SciPy developers.
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All the correlations, except for ZERO and MISS, should be exactly 1.
ZERO and MISS should have undefined or missing correlations with the
other variables.  The same should go for SPEARMAN correlations, if
your program has them.
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Note that in SciPy 0.9.0 this was not working well for large numbers due to
inaccuracy of the hypergeom distribution (see #1218). Fixed now.

Also note that R and SciPy have different argument formats for their
hypergeometric distribution functions.

R:
> phyper(18999, 99000, 110000, 39000, lower.tail = FALSE)
[1] 1.701815e-09
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Checks that all of the warnings from a list returned by
`warnings.catch_all(record=True)` are of the required type and that the list
contains expected number of warnings.
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Comparison numbers are found using R v.1.5.1
note that length(testcase) = 4
testmathworks comes from documentation for the
Statistics Toolbox for Matlab and can be found at both
https://www.mathworks.com/help/stats/kurtosis.html
https://www.mathworks.com/help/stats/skewness.html
Note that both test cases came from here.
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Using PairedData's yuen.t.test method. Something to note is that there
are at least 3 R packages that come with a trimmed t-test method, and
comparisons were made between them. It was found that PairedData's
method's results match this method, SAS, and one of the other R
methods. A notable discrepancy was the DescTools implementation of the
function, which only sometimes agreed with SAS, WRS2, PairedData and
this implementation. For this reason, most comparisons in R are made
against PairedData's method.

Rather than providing the input and output for all evaluations, here is
a representative example:
> library(PairedData)
> a <- c(1, 2, 3)
> b <- c(1.1, 2.9, 4.2)
> options(digits=16)
> yuen.t.test(a, b, tr=.2)

    Two-sample Yuen test, trim=0.2

data:  x and y
t = -0.68649512735573, df = 3.4104431643464, p-value = 0.5361949075313
alternative hypothesis: true difference in trimmed means is not equal
to 0
95 percent confidence interval:
 -3.912777195645217  2.446110528978550
sample estimates:
trimmed mean of x trimmed mean of y
2.000000000000000 2.73333333333333
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a^  
The PairedData library only supports unequal variances. To compare
samples with equal variances, the multicon library is used.
> library(multicon)
> a <- c(2.7, 2.7, 1.1, 3.0, 1.9, 3.0, 3.8, 3.8, 0.3, 1.9, 1.9)
> b <- c(6.5, 5.4, 8.1, 3.5, 0.5, 3.8, 6.8, 4.9, 9.5, 6.2, 4.1)
> dv = c(a,b)
> iv = c(rep('a', length(a)), rep('b', length(b)))
> yuenContrast(dv~ iv, EQVAR = TRUE)
$Ms
   N                 M wgt
a 11 2.442857142857143   1
b 11 5.385714285714286  -1

$test
                      stat df              crit                   p
results -4.246116897032513 12 2.178812829667228 0.00113508833897713
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> library(PairedData)
> a <- c(2.7,2.7,1.1,3.0,1.9,3.0,3.8,3.8,0.3,1.9,1.9)
> b <- c(6.5,5.4,8.1,3.5,0.5,3.8,6.8,4.9,9.5,6.2,4.1)
> options(digits=16)
> yuen.t.test(a, b, alternative = 'greater')
r'  F)r3	  r	  r‘  rÀ  rD  Nra	  rc	  rT	  )rc   rÍ  rL  rÖ  rJ  rV  r=  r<  s   &&&&    rm   Útest_alternativesÚ!Test_ttest_trim.test_alternativesC  s=   € ò DˆÚCˆä!ŸOšO¨A°rÀUØ8;ô=Ñˆ	ä˜¨Õ/Ü˜	¨E×2rp   TzUses NumPy for pvalue, CI©Úcpu_onlyrœ   c                ób  € R pVP                  ^
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Data generated in R with
> set.seed(1)
> library("onewaytests")
> library("tibble")
> y <- c(rnorm(40, sd=10),
+        rnorm(30, sd=15),
+        rnorm(20, sd=20))
> x <- c(rep("one", times=40),
+        rep("two", times=30),
+        rep("eight", times=20))
> x <- factor(x)
> ag.test(y ~ x, tibble(y,x))

Alexander-Govern Test (alpha = 0.05)
-------------------------------------------------------------
data : y and x

statistic  : 1.359941
parameter  : 2
p.value    : 0.5066321

Result     : Difference is not statistically significant.
-------------------------------------------------------------
Example adapted from:
https://eval-serv2.metpsy.uni-jena.de/wiki-metheval-hp/index.php/R_FUN_Alexander-Govern

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Alexander-Govern Test in Terms of Power' by Kingsley Ochuko, T.,
Abdullah, S., Binti Zain, Z., & Soaad Syed Yahaya, S. (2015).
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Data taken from 'Robustness And Comparative Power Of WelchAspin,
Alexander-Govern And Yuen Tests Under Non-Normality And Variance
Heteroscedasticity', by Ayed A. Almoied. 2017. Page 34-37.
https://digitalcommons.wayne.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=2775&context=oa_dissertations
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p-value with t-distributions can be nan (0/0) (see gh-15843)
zDp-value cannot be estimated|divide by zero|invalid value encounteredr\  r*  r)  Nr¨  ©r8   r�   r¹   r‘   r¶   )rY   r‰  rÄ   r%   r¬   r[   r  )rc   rA  rd   rf   rg   r°   s   &&&   rm   Útest_brunnermunzel_return_nanÚ/TestBrunnerMunzel.test_brunnermunzel_return_nan‡!  s�   € ð
 �J‰J’|Ó$ˆØ�J‰JÒ+Ó,ˆçØ—‘˜!˜Ó ×"Ñ"ˆAØ—‘˜!˜Ó ×"Ñ"ˆAàTˆÜœ¨s×:Ö:Ü×Ò °3Õ7÷ ;×:×:Ò:ús   ÂB%Â%B6	c                ó(  € VP                  . RO4      pVP                  . RO4      p\        \        RVR7      ;_uu_ 4        \        P                  ! W#RR7      w  rERRR4       \        XVP                  R4      4       R#   + '       g   i     L-; i)	z^tests that a p is 0 for datasets that cause p->nan
when t-distribution is used (see gh-15843)
zdivide by zeror\  rË  r)  Nr‰   r¨  rC  )rY   r%   r¬   r[   r  r0   )rc   rd   rf   rg   r   rd  s   &&    rm   Útest_brunnermunzel_normal_distÚ0TestBrunnerMunzel.test_brunnermunzel_normal_dist—!  sg   € ð �J‰J’|Ó$ˆØ�J‰JÒ+Ó,ˆäœÐ/?ÀB×GÖGÜ×&Ò& q¸(ÔC‰DˆA÷ Hä˜˜2Ÿ:™: b›>Ö*÷ H×Gús   ÁBÂB	rÕ   N)rW   rE   rW   rW   rW   rW   rW   rW   rW   rW   rE   r“   rW   rW   )rÐ   rÐ   r“   rÐ   rW   rE   rÐ   rW   rW   rw   r“   )rÖ   r×   rØ   rÙ   rZ   r  r  r  r  r%  r*  r-  rÞ   rß   r  r5  r9  r<  r?  rD  rG  rá   râ   rã   s   @rm   r  r  !  sº   ø‡ € ò 	3€AÚ)€Aò=ò&	?ò	?òGò?òGð ‡[�[×Ñ˜^¨s°B¨i¸#¸r¸Ø/2°B¸¸RÐ.@ð.Bó Cñ4óCð4ò	0òMò	?ð ‡[�[×ÑÐ.°¸°Ó>ñ8ó ?ð8÷	+ð 	+rp   r  c                   óÞ  a € ] tR tRt o RtR t]P                  P                  R. RO. RORR]	P                  ) RR	.R
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including the computation of confidence intervals
c                ó  € . ROpRp\         P                  ! \        VR7      ;_uu_ 4        \        P                  ! V.4       RRR4       Rp\         P                  ! \        VR7      ;_uu_ 4        \        P                  ! V^^.R7       RRR4       Rp\         P                  ! \        VR7      ;_uu_ 4        \        P                  ! VRR.R	7       RRR4       \         P                  ! \        VR7      ;_uu_ 4        \        P                  ! V^R	7       RRR4       \         P                  ! \        VR7      ;_uu_ 4        \        P                  ! VRR	7       RRR4       R
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See Section 6 of
I. Steinwart, C. Pasin, R.C. Williamson & S. Zhang (2014).
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http://proceedings.mlr.press/v35/steinwart14.html

and

Propositions 5, 6, 7 of
F. Bellini, B. Klar, and A. MÃ¼ller and E. Rosazza Gianin (2013).
"Generalized Quantiles as Risk Measures"
http://doi.org/10.2139/ssrn.2225751
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